Имеют ли права не ставить меня учет в местном военкомате?

Нет, должны поставить на воинский учет. Статья 10 ФЗ-53 1. В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны: состоять на воинском учете по месту жительства (граждане, прибывшие на место пребывания на срок более трех месяцев или проходящие альтернативную гражданскую службу, - по месту их пребывания) в военном комиссариате, а граждане, имеющие воинские звания офицеров и пребывающие в запасе Службы внешней разведки Российской Федерации и в запасе Федеральной службы безопасности Российской Федерации, - в указанных органах. Как видим в законе отсутствует разграничение на граждан, подлежащих призыву и граждан, зачисленных в запас.